EXTRAFUN

Riešenie lineárnych rovníc ekvivalentnými úpravami

Lineárnou rovnicou s neznámou x nazývame každú rovnosť zapísanú v tvare a . x + b = 0,

kde a, b sú ľubovoľné čísla, pričom a ≠ 0.

Napríklad: 2x + 8 = 0

Rovnica má vtedy práve jedno riešenie (jeden koreň), ktoré danej rovnici vyhovuje.

Riešenie rovnice je výpočet neznámej x, ktorú nazývame koreň rovnice.

Pri riešení lineárnych rovníc používame ekvivalentné úpravy, kam patrí:

• výmena pravej a ľavej strany rovnice

• pripočítanie toho istého čísla alebo mnohočlena k obidvom stranám rovnice

• odpočítanie toho istého čísla alebo mnohočlena od obidvoch strán rovnice

• vynásobenie obidvoch strán rovnice tým istým číslom rôznym od nuly

• vydelenie obidvoch strán rovnice tým istým číslom rôznym od nuly

Pri riešení je výhodné zapisovať každý krok na samostatný riadok, aby bolo riešenie dostatočne prehľadné.

Je vhodné dodržiavať nesledujúci postup:

1. dstránime z rovnice zlomky a zátvorky, pričom musíme zvážiť, čo je potrebné urobiť ako prvé.

2. Zjednodušíme obidve strany rovnice – na každej vypočítame, „čo sa dá“.

3. Prenesieme členy s neznámou na jednu stranu rovnice a čísla na druhú stranu rovnice.

4. Vydelíme obidve strany rovnice číslom, ktoré je pri neznámych (udáva počet neznámych).

5. Vykonáme skúšku správnosti dosadením vypočítanej hodnoty do pôvodnej rovnice. Dosadzujeme do každej strany rovnice zvlášť a potom výsledky porovnáme.

Ak sme riešili správne, musia sa strany rovnať.

Príklad:

Riešte rovnicu a vykonajte skúšku správnosti

1.       

4 . (x – 3) = 2 . (x + 5) /odstránime zátvorky - vynásobíme ich     číslom pred zátvorkou

4x -12 = 2x + 10 / +12; - 2x /prenesieme členy s neznámou na ľavú stranu a čísla na pravú stranu

4x – 2x = 10 + 12 /zjednodušíme obidve strany

2x = 22 / : 2 /obidve strany delíme počtom neznámych

x = 11

Vykonáme skúšku správnosti:

Ľavá strana: 4 . (11 – 3) = 4 . 8 = 32

Pravá strana: 2 . (11 + 5) = 2 . 16 = 32

Ľ = P   riešili sme správne

2.       

x/2 + x/4 - x = 2 / . 4 /odstránime zlomky – vynásobíme každého člena rovnice spoločným menovateľom

x/2 . 4 + x/4 . 4 – 4 . x = 2 . 4 /dostaneme

2x + x – 4x = 8 /zjednodušíme ľavú stranu

- 1x = 8 / : (-1) /vydelíme obidve strany číslom pri neznámej

x = - 8

Vykonáme skúšku správnosti:

Ľ: -8/2 + -8/4 - (-8) = - 4 – 2 + 8 = 2

P: 2

Ľ = P riešili sme správne

3.       

1 – [4 . (3 – 2x)]/5 = 3x – (x + 1)/10 /ako prvú odstránime guľatú zátvorku pretože je vo vnútri zlomku

1 – (12 – 8x)/5 = 3x – (x + 1)/10 / . 10      /odstránime zlomky – vynásobíme každého člena spoločným menovateľom

10 – 2 . (12 – 8x) = 30x – 1. (x + 1)

10 – 24 + 16x = 30x – x – 1 /zjednodušíme obidve strany

- 14 + 16x = 29x – 1 /prenesieme členy s neznámou na ľavú stranu a čísla na pravú stranu

16x – 29x = - 1 + 14

- 13x = 13 / : (-13) /vydelíme obidve strany číslom pri neznámej

x = - 1

Vykonáme skúšku správnosti:

Ľ: 1 – [4 . (3 – 2 .{-1}]  = 1 – [4 . (3 + 2)] = 1 –(4 . 5)/5 = 1 – 4 = - 3

P: 3 . (- 1)  – (-1 + 1)/10 = - 3 – 0/10 = - 3 – 0 = - 3

Ľ = P riešili sme správne

Úlohy:

Riešte rovnice a vykonajte skúšku správnosti:

1. 3/4 . x – 3/4 – 4/3 . x + 2/3 + 5x/6 + 5/6 = 2

2. 12x – 2 . (2 + 3x) + 15 = 23